L'aritmetica ordinaria tratta di insiemi infiniti di numeri, a partire dall'insieme N dei numeri naturali:
{0, 1, 2, 3, 4 ...}.
Nella realtà però si ha spesso a che fare con situazioni nelle quali i numeri possibili sono
finiti; l'orologio ha solo 12 o 24 ore; i numeri gestiti da un computer sono sempre limitati ecc.ecc.
Si definisce allora aritmetica finita un'aritmetica che opera su un insieme limitato di numeri.
È detta anche aritmetica modulare o circolare, in quanto una volta raggiunto l'ultimo numero si ricomincia dal primo.
Esempio classico quello dell'orologio; le ore si susseguono da 0 a 23, il 24 coincide con il punto di partenza, quindi con lo 0; e con la mezzanotte si ricomincia da 0. L'insieme è {0, 1, 2, 3, ... 22, 23}.
L'aritmetica dell'orologio si dice aritmetica modulo 24.
In generale un'aritmetica finita modulo m si basa sull'insieme {0,1,2...m-1};
questi numeri possono anche vedersi come i possibili resti di una divisione per m.
Le regole di calcolo sono molto semplici, la somma algebrica e il prodotto vengono prima eseguite nell'aritmetica ordinaria; il risultato viene poi diviso per m e si considera il resto come somma. Molti ambienti e linguaggi informatici prevedono un operatore per il calcolo del resto; il simbolo è mod (linguaggio Pascal)
o % (linguaggio C). P.es. 12 mod 7 = 5; 12 % 7 = 5
Per quanto riguarda le proprietà algebriche delle aritmetiche finite : per la somma valgono tutte le proprietà dell' ordinaria somma fra numeri reali, ovvero è un gruppo finito commutativo.
Per il prodotto si usa lo stesso metodo, ma può cadere la regola di annullamento del prodotto (che dice : un prodotto è nullo se e solo se lo è almeno uno dei due fattori).
Esempio 1 : in modulo 24 , 11*3 = 9 perchè 11*3 = 33 e 33 mod 24 = 9.
Esempio 2 : in modulo 24 , 8*6 = 0 perchè 8*6 = 48 e 48 mod 24 = 0.
Questo inconveniente può evitarsi solo se m è un numero primo;
in questo caso si ha un campo finito o di Galois
(vedi anche gruppo moltiplicativo).
